ציוד והנחיות בנייה

ציוד: פלסטלינה, קשיות השוות באורכן, מספרים, שמרדף, דף שבו מצוירים מעגלים.

• צרו מהפלסטלינה נחש, והניחו אותו על היקף המעגל.

• הניחו מספר קשיות כך שקצה אחד של הקשית יונח על שפת המעגל.

• חברו את כל הקצוות האחרים לנקודה אחת, ולאחר מכן חברו אותם עם כדור קטן של פלסטלינה.

שאלות התבוננות

1. מה קיבלתם?

רשמו בלוח המחיק מה מאפיין את הצורה שקיבלתם?

2. אילו חפצים אתם מכירים שנראים בצורה זו?

הצורה שקיבלתם נקראת חרוט.

3. א. תארו במילים שלכם איך יצרתם את החרוט?

ב. התבוננו בחרוטים שבנו חברי הקבוצה. כתבו אילו צורות הנדסיות בונות את החרוט?

איור החרוט האדום המקורי מתוך דף המקור של איילת קריספין

נכתוב בכתיב מתמטי

• בסיס החרוט הוא — מעגל.

• הנקודה שבה נפגשים כל הקטעים (הקשיות) נקראת — קודקוד החרוט.

• קטע המחבר נקודה על המעגל אל קודקוד החרוט נקרא — הקו היוצר.

השלימו את הגדרת החרוט

חרוט הוא גוף תלת-מימדי הנוצר מחיבור נקודה שמחוץ למישור הבסיס עם כל נקודות המעגל שעל היקף הבסיס.

לבסיס צורת , ולחרוט קודקוד יחיד מחוץ למישור הבסיס.

כל הקטעים המחברים את שפת הבסיס לקודקוד נקראים ויוצרים את מעטפת החרוט.

האנך המורד מקודקוד החרוט אל מרכז הבסיס נקרא גובה החרוט.

שאלת חקר ודיון כיתתי: מה קובע את צורת החרוט?

אם נשתמש באותו מעגל פלסטלינה בבסיס אך נחליף את הקשיות לקשיות ארוכות יותר — מה ישתנה בחרוט (הגובה, שיפוע המעטפת) ומה יישאר ללא שינוי?

מסמנים את חלקי החרוט

כתבו בכל תיבה: בסיס, קודקוד או מעטפת.

איזה גוף הוא חרוט?

הקיפו את החרוט. כתבו מתחתיו שני סימנים שעזרו לכם לזהות אותו.

סימן ראשון: סימן שני:

אותו גוף, תנוחה אחרת

שני הציורים מתארים אותו גוף. סמנו: כן / לא — האם גם הציור השני מתאר חרוט?

מה השתנה?

כתבו תכונה אחת שלא השתנתה:

מה באמת עוזר לזהות?

סמנו רק את המידע הגאומטרי שעוזר לזהות חרוט.

צבע הגוף

יש בסיס בצורת עיגול

יש קודקוד

הקודקוד מצויר למעלה

יש מעטפת מעוגלת

בדיקת טענה ותיקונה

נתונה הטענה: „לחרוט יש שני בסיסים עגולים כמו לגליל, אך אחד מהם קטן מאוד.”

האם הטענה נכונה? הסבירו ונמקו מדוע, וציינו איזה חלק של החרוט זוהה כאן בטעות כבסיס.

זיהוי חפצים בצורת חרוט

סמנו את כל החפצים שאפשר לתאר בקירוב כחרוט.

גביע וופלקונוס תנועהפחית שתייהקוביית משחקמשפך חרוטי

מיון מושכל: ליד כל חפץ כתבו חרוט / גליל / גוף אחר: חוד עיפרון ______ · אוהל טיפי ______ · עץ ברוש חרוטי ______ · פחית שימורים ______ · פרוסת גבינה משולשת ______. בחפצים אמיתיים מתייחסים לצורה הגאומטרית כמודל בקירוב.

מה הופך גוף לחרוט?

השלימו שני עוגנים קצרים:

לבסיס החרוט צורת .

לחרוט יש בסיס אחד ו־ אחד.

איזו תכונה אינה תלויה בכיוון שבו מניחים את החרוט?

מקום הקודקוד בציורצורת הבסיסצבע הגוף

מבחינים בין חרוט לפירמידה

גם לחרוט וגם לפירמידה יש קודקוד אחד מול בסיס. מה מבדיל ביניהם מבחינה גאומטרית?

לחרוט בסיס עיגול ומעטפת עקומה (גוף סיבוב), ולפירמידה בסיס מצולע ופאות משולשות (פאון).

לחרוט פאות ישרות בלבד, ולפירמידה מעטפת מעגלית.

אין ביניהם הבדל גאומטרי — ההבדל הוא בשם בלבד.

חשיבה מתמטית: מדוע חרוט אינו נקרא פאון? נמקו בקצרה:

מתמונה לשפה מתמטית: חלקי החרוט

מחסן מונחים: גובה החרוט רדיוס הבסיס קו יוצר קודקוד החרוט

התאמת מושגים: כּתבו בתוך כל תיבה בשרטוט את המונח המתאים מתוך מחסן המונחים.

המשולש הפנימי: הגובה, הרדיוס והיוצר יוצרים יחד משולש ישר־זווית קהה־זווית. הקטע המשמש כיתר הוא ה־.

מחפץ אמיתי למודל מתמטי

בחרו חפץ אחד שסימנתם כמתאים בקירוב לחרוט. שרטטו אותו כמודל גאומטרי פשוט, סמנו בסיס וקודקוד, וכתבו פרט אחד מן החפץ האמיתי שלא נכנס למודל.

החפץ שבחרתי:

מאפיין מהחפץ הממשי שהושמט במודל:

מקרה א׳נכון / לא נכון

„לחרוט יש שני בסיסים עגולים, כמו לגליל.”

הכרעה:

תיקון והסבר:

לחרוט יש בסיס שטוח ______ וקודקוד ______.

מקרה ב׳נכון / לא נכון

„החלק שיוצר את מעטפת החרוט בפריסה הוא משולש.”

הכרעה:

תיקון והסבר:

מעטפת החרוט נפתחת ל־________ של עיגול.

מקרה ג׳נכון / לא נכון

„אם הופכים חרוט על צדו, הוא מפסיק להיות חרוט.”

הכרעה:

תיקון והסבר:

השתנתה רק ה־________ של הגוף, לא התכונות שלו.

מקרה ד׳נכון / לא נכון

„מספיקה גזרה של עיגול כדי ליצור חרוט סגור.”

הכרעה:

תיקון והסבר:

כדי לקבל חרוט סגור צריך גם ________.

מקרה ה׳נכון / לא נכון

„בפריסה תקינה של חרוט, אורך קשת הגזרה צריך להתאים להיקף בסיס החרוט.”

הכרעה:

השלימו:

אורך הקשת = ________ הבסיס.

מקרה ו׳נכון / לא נכון

„חרוט ופירמידה הם אותו סוג גוף כי לשניהם קודקוד.”

הכרעה:

תיקון והסבר:

לחרוט בסיס ________, ולפירמידה בסיס ________.

מי צודק?

אורי אומר: „אפשר לדעת אם ציור הוא פריסה של חרוט רק לפי סוגי הצורות שמופיעות בו.” מאיה אומרת: „צריך לבדוק גם אם המידות מתאימות זו לזו.” מי צודק?

אורימאיהשניהםאף אחד

השלימו: בפריסה תקינה, אורך קשת הגזרה צריך להתאים ל־________ של בסיס החרוט.

בוחרים טענות מדויקות

סמנו את הטענות הנכונות.

לחרוט יש בסיס שטוח אחד וקודקוד אחד.

מעטפת החרוט נפתחת למלבן.

שינוי תנוחת החרוט אינו משנה את סוג הגוף.

כל גזרה וכל עיגול יוצרים בהכרח פריסה תקינה.

כשמגלגלים חרוט על המעטפת שלו, הוא אינו מתקדם במסלול ישר כמו גליל.

בחרוט ישר, היוצר הוא היתר בחצי החתך הצירי ולכן הוא ארוך מן הגובה.

שלוש מידות שונות

המידה	מה היא מתארת?
רדיוס	מהמרכז אל שפת הבסיס / מן הקודקוד אל המרכז
גובה	האנך מן הקודקוד אל מרכז הבסיס / הקו המשופע על המעטפת
יוצר	היוצר / הקוטר

לא מתבלבלים בין גובה ליוצר

בחרוט ישר, איזה קטע ניצב למישור הבסיס?

הרדיוסהגובההיוצר

השלימו: הקטע המשופע מן הקודקוד אל שפת הבסיס נקרא .

מי ארוך יותר? בחרוט ישר שאינו מנוון: הגובה היוצר שווים. נמקו בעזרת חצי החתך הצירי: .

משנים תנוחה

מסובבים את החרוט כך שהקודקוד פונה שמאלה. מה קורה למשמעות של הרדיוס, הגובה והיוצר?

המשמעות שלהם נשארת זהה.

הגובה הופך ליוצר.

הרדיוס הופך לקוטר.

אותן שלוש מידות בתוך חצי חתך צירי

חצי החתך הצירי יוצר משולש ישר־זווית. סמנו בציור את הזווית הישרה.

איזו מן המידות היא היתר?

הרדיוסהגובההיוצר

הסבירו במשפט אחד מדוע היוצר ארוך מן הגובה.

קומיקס מתמטי

מה המצב הלימודי של אניס?

שיחת הורים אצל משפחת חרוט: כשלומדים גאומטריה... הבסיס הוא הכל!

„אניס, המורה למתמטיקה התקשרה... היא אמרה שחסר לך בסיס!”

„מה פתאום חסר בסיס?! תסתכלו עלי — יש לי בסיס מעגלי מושלם, יציב ושטוח!”

„נכון מאוד, אניס! ועכשיו בוא נלמד על הגובה, הרדיוס והקו היוצר!”

„יש! קיבלתי 100 במבחן! מעכשיו יש לי בסיס חזק בכל החרוטים!”

מבט מלמעלה

חרוט ישר עומד על בסיסו. הקיפו את הצורה המתאימה למבט מלמעלה.

כתבו מדוע הבחירה שלכם מתאימה:

מבט מהצד

אותו חרוט ישר עומד על בסיסו. הקיפו את הצורה המתאימה למבט מהצד.

עיגולמשולש שווה־שוקייםמלבןגזרת עיגול

הסבירו בקצרה מדוע מתקבל משולש שווה־שוקיים:

מתאימים ייצוג לתיאור

לכל תיאור כתבו את האות של הייצוג המתאים.

גוף תלת־ממדי: מבט מלמעלה: פריסה:

מסובבים את הגוף

חרוט הונח על צדו. סמנו את כל הדברים שיכולים להשתנות בציור בלי שהגוף יפסיק להיות חרוט.

מיקום הקודקוד על הדף

כיוון הבסיס

מספר הבסיסים

צורת הבסיס

מתיאור לשרטוט

ציירו חרוט ישר כך שהקודקוד יפנה שמאלה. סמנו בשרטוט את הבסיס ואת הקודקוד.

מה לא מספיק?

תלמיד ראה ציור של משולש ואמר: „זה חרוט במבט מהצד.” האם ציור של משולש לבדו מספיק כדי להסיק שמדובר בחרוט? הסבירו.

איזו פריסה יכולה להיסגר לחרוט?

הקיפו את האפשרות המתאימה ביותר.

בחרו אחת משתי האפשרויות האחרות והסבירו מדוע אינה מתאימה:

מתאימים חלקים

כתבו מתחת לכל חלק בפריסה: בסיס או מעטפת.

מה חסר?

ניסוי נייר גזרו גזרת עיגול, גלגלו אותה והדביקו את השוליים — קיבלתם מעטפת חרוט. בפריסה שלפניכם חסר החלק שסוגר את החרוט מלמטה. ציירו אותו וכתבו את שמו.

שם החלק:

הקשת והבסיס

לשתי גזרות אותו רדיוס. לגזרה ב׳ קשת ארוכה יותר. סוגרים כל גזרה למעטפת של חרוט. באיזה חרוט יהיה היקף בסיס גדול יותר?

א׳ב׳אי אפשר לדעת

נמקו:

אם שומרים על אותו רדיוס גזרה אבל מקטינים את זווית הגזרה, הקשת נעשית קצרה יותר. החרוט שיתקבל יהיה בעל בסיס: רחב יותר / צר יותר / ללא שינוי.

בודקים התאמה מדויקת

מיה טוענת: „כל גזרה וכל עיגול יכולים ליצור יחד חרוט סגור.” קבעו אם היא צודקת:

צודקתאינה צודקת

התנאי לפריסה תקינה: אורך קשת הגזרה צריך להיות להיקף מעגל הבסיס.

הקשר המבני: מזווית הגזרה לקוטר הבסיס

חוק שימור ההיקף ויחס הזווית

r / s = α / 360°

אורך קשת הגזרה שווה במדויק להיקף מעגל הבסיס (2πr). מכאן נובע שהיחס בין רדיוס הבסיס (r) לאורך היוצר (s) נקבע בלעדית על פי החלק שמהווה זווית הגזרה מתוך מעגל שלם!

מעבדת חקר: שלוש זוויות גזרה מיוחדות והגופים הנוצרים מהן

התאימו בין זווית הגזרה בפריסה לבין התכונות הגאומטריות של החרוט שמתקבל במרחב:

מקרה א׳: חצי מעגל (α = 180°)

יחס המידות: r / s = 180° / 360° = 1/2

היוצר שווה בדיוק לקוטר הבסיס (s = 2r).

תכונה מיוחדת: החתך הצירי של החרוט הוא משולש שווה־צלעות!

זווית הראש של החרוט: 60° / 90°

מקרה ב׳: רבע מעגל (α = 90°)

יחס המידות: r / s = 90° / 360° = 1/4

היוצר ארוך פי 4 מרדיוס הבסיס (s = 4r).

מבנה הגוף: מתקבל חרוט גבוה ומחודד מאוד (חרוט שפיצי).

הגובה h קרוב מאוד לאורך היוצר s.

מקרה ג׳: שלושה רבעים (α = 270°)

יחס המידות: r / s = 270° / 360° = 3/4

רדיוס הבסיס מהווה 75% מאורך היוצר.

מבנה הגוף: מתקבל חרוט רחב ופחוס מאוד (כמו צלחת מעופפת).

הגובה h נמוך משמעותית מרדיוס הבסיס r.

ניסוי מחשבתי: חקר מקרי הקצה והממדים

מה קורה לגוף במרחב כאשר משנים את זווית הגזרה אל הקצוות?

א. כאשר זווית הגזרה שואפת ל־360°:
היחס r/s שואף ל־1, ולפי פיתגורס הגובה h = √(s²-r²) שואף ל־0. החרוט הופך ל: עיגול דו־ממדי שטוח.

ב. כאשר זווית הגזרה שואפת ל־0°:
הרדיוס r שואף ל־0, והחרוט קורס ל: קטע ישר אנכי (ממד 1).

תובנה עמוקה: משפחת החרוטים מחברת ברציפות בין קו חד־ממדי לבין עיגול דו־ממדי!

אתגר מתמטי מתוחכם: חישוב גובה מתוך זווית הגזרה!

גוזרים גזרת עיגול בעלת רדיוס s = 10 ס״מ וזווית מרכזית α = 216°, וסוגרים אותה לחרוט ישר במרחב.

שלב 1: חשבו את רדיוס בסיס החרוט שנוצר:
r = 10 · (216° / 360°) = 10 · 0.6 = ס״מ.

שלב 2: בעזרת משפט פיתגורס בחצי החתך הצירי (r² + h² = s²), חשבו את גובה החרוט h:

קיבלנו שלשת מידות מופלאה: רדיוס 6 ס״מ, גובה 8 ס״מ, יוצר 10 ס״מ — זהו בדיוק החרוט שנחקר בעמוד 5!

הסבר מנומק: מדוע רדיוס הגזרה אינו גובה החרוט?

תלמיד התבלבל וטען: „גזרתי גזרה ברדיוס 10 ס״מ, לכן גובה החרוט שנוצר הוא 10 ס״מ.”

הסבירו לו בעזרת מונחי המרחב מדוע טענתו שגויה ומהו התפקיד האמיתי של רדיוס הגזרה בחרוט:

חותכים במקביל לבסיס

חותכים חרוט ישר במישור המקביל לבסיס, בין הקודקוד לבסיס. סמנו את הצורה שמתקבלת באזור החיתוך.

עיגולמשולשמלבןגזרת עיגול

נמקו לפי הקשר בין החיתוך לבסיס:

שני גופים אחרי החיתוך

לאחר החיתוך המקביל לבסיס מתקבלים שני חלקים. השלימו:

החלק	יש קודקוד?	תיאור
החלק העליון
החלק התחתון

איזה מן החלקים הוא עדיין חרוט?

חתך דרך הציר

מעבירים מישור דרך קודקוד חרוט ישר ודרך מרכז בסיסו. איזו צורה מתקבלת בחתך?

עיגולמשולש שווה־שוקייםמלבן

ציירו את החתך:

חותכים במקום אחר

שני חתכים מקבילים לבסיס נעשו בגבהים שונים. באיזה חתך יתקבל עיגול גדול יותר — בחתך הקרוב לבסיס או בחתך הקרוב לקודקוד?

קרוב לבסיסקרוב לקודקוד

הסבירו:

פריסה אחרת, אותו סוג גוף

שתי גזרות שונות יכולות ליצור שני חרוטים שונים. כתבו דבר אחד שיכול להשתנות בין החרוטים ודבר אחד שחייב להישאר מאפיין של חרוט.

יכול להשתנות:

חייב להישאר:

בודקים טענה

„אם חתכנו חרוט במישור המקביל לבסיס, שני החלקים שהתקבלו הם חרוטים.” קבעו אם הטענה נכונה ותקנו אותה.

זירת החקר: מתחם האדריכלות וההנדסה החרוטית

מעבדת בלשים גאומטרית במרחב

מתחם אדריכלי והנדסי מתקדם המשלב מבנים חרוטיים, מגדלי תצפית וגגות מפרש הפוכים

במתחם המדע והאדריכלות משולבים מבנים חרוטיים חדשניים: מגדלי תצפית חרוטיים, גגות מפרש הפוכים, כיפות ומנסרות. השתמשו במרחב לחקירה גאומטרית מתקדמת המגשרת בין צורת הגוף לבין חישוב נפחו.

תעלומה א׳: קריטריון הזיהוי — חרוט מול גופים אחרים במרחב

תלמיד 1 טען: „כל גוף במרחב שיש לו בסיס וקודקוד הוא חרוט.”
תלמיד 2 טען: „מגדל בעל גג עם בסיס מתומן הוא פירמידה, לא חרוט.”

מי צודק? תלמיד 1 / תלמיד 2

הגדרה מחמירה: חרוט חייב בסיס מעגלי שטוח, קודקוד בודד מחוץ למישור הבסיס, ומעטפת הנוצרת מחיבור הקודקוד לכל נקודות שפת המעגל.

סמנו איזה מבנה אינו חרוט:

גג חרוטי עגולגג פירמידלי מרובעגביע הצללה הפוך

תעלומה ב׳: ניסוי המחשבה של ארכימדס — הקשר לגליל החוסם

מלבישים גליל שקוף שחוסם במדויק את אחד המגדלים החרוטיים (אותו בסיס עגול בדיוק ובדיוק אותו גובה אנכי).

כמה מנפח הגליל החוסם ימלא החרוט לדעתכם?

חצי יותר מחצי בדיוק שליש (13)

הסבר גאומטרי מנומק: חתכי החרוט המקבילים לבסיס קטנים ככל שמתקרבים לקודקוד (רדיוסי החתך קטנים לינארית, ושטחי העיגולים קטנים ריבועית!). רוב המסה והנפח מרוכזים בשליש התחתון, ולכן החרוט ממלא בדיוק 13 מנפח הגליל!

מסקנה קריטית: זו הסיבה שנוסחת נפח החרוט מתחילה במקדם 13 מנפח הגליל!

תעלומה ג׳: שימור מידות והנדסת יציבות במרחב

במתחם מוצבים חרוטים ישרים (בסיס למטה) וגגות הצללה הפוכים (קודקוד למטה).

א. האם היפוך החרוט משנה את גובהו, את שטח בסיסו או את נפחו?

משנהאינו משנה (נשמרים)

נמקו: סיבוב או היפוך במרחב הוא העתקה קשיחה (איזומטריה) המשמרת מרחקים, שטחים ונפחים.

ב. שיקול הנדסי: מדוע מגדל נבנה כשבסיסו למטה, אך משפך נבנה כשקודקודו למטה?

תעלומה ד׳: שמש, צללים והיטלים גאומטריים

א. בצהריים (שמש אנכית מעל הקודקוד) צל החרוט על הקרקע האופקית הוא: עיגול (בדיוק שטח הבסיס πr²!).

ב. בשקיעה (שמש אופקית מן הצד) צל החרוט על קיר אנכי מאחוריו הוא: משולש שווה־שוקיים (בדיוק החתך הצירי של החרוט!).

תובנת חקר: שני הצללים ממחישים שחרוט תלת־ממדי משלב את תכונות המעגל והמשולש!

גשר מעבר לעמוד 12: הגדרנו את מאפייני החרוט, הוכחנו שהיפוך שומר על גובהו ונפחו, והבנו אינטואיטיבית מדוע חרוט תופס בדיוק 13 מגליל חוסם בעל אותו בסיס וגובה. בעמוד הבא ניישם תובנות אלה ישירות בחישוב הנוסחה האלגברית לנפח החרוט!

קוראים את נוסחת הנפח

נפח = 13 · π · רדיוס² · גובה (V = 13πr²h)

הגודל	משמעות
נפח	נפח / שטח
רדיוס	רדיוס הבסיס / קוטר הבסיס
גובה	גובה החרוט / היוצר

איזו נוסחה מתאימה?

הקיפו את נוסחת נפח החרוט.

נפח = π · רדיוס² · גובה

נפח = 13 · π · רדיוס² · גובה

נפח = 2π · רדיוס

יחידות

אם כל המידות בסנטימטרים, באיזו יחידה נכתוב נפח?

ס״מס״מ²ס״מ³

השלימו: לפני הצבה בנוסחה, כל המידות צריכות להיות באותה .

מה נכנס לכל מקום בנוסחה?

נפח=13·π·²·

במקום הראשון כותבים את רדיוס הבסיס; במקום השני את גובה החרוט.

סמנו בציור את שתי המידות שמשתתפות בנוסחה. האם היוצר נכנס ישירות לנוסחה?

כןלא

רדיוס או קוטר?

נתון קוטר בסיס של 10 ס״מ. איזה מספר הוא רדיוס הבסיס ולכן צריך להציב בנוסחה?

10520

כתבו את הקשר: קוטר = .

מציבים לפי הסדר

בכל חרוט נתונים רדיוס וגובה. חשבו במונחי π.

רדיוס	גובה	הצבה	נפח
3 ס״מ	8 ס״מ
4 ס״מ	9 ס״מ
5 ס״מ	6 ס״מ

בודקים סדר גודל

לחרוט רדיוס 3 ס״מ ו־גובה 8 ס״מ. איזו תשובה אפשרית?

24π ס״מ³72π ס״מ³11π ס״מ³

איזו טעות מובילה ל־72π?

מתרשים לחישוב

בחרוט ישר מסומנים רדיוס 6 ס״מ ו־גובה 5 ס״מ.

נפח =ס״מ³

מה לא צריך?

לחישוב נפח נתונים רדיוס 5, גובה 12, יוצר 13. איזה נתון אינו דרוש ישירות לנוסחת הנפח?

רדיוסגובהיוצר

הסבירו בקצרה מדוע הנתון שבחרתם אינו נדרש ישירות:

בדיקת עצמי לפני שמסיימים

בדקתי אם נתון רדיוס או קוטר.

השתמשתי בגורם ⅓ בנוסחת נפח החרוט.

כתבתי יחידת נפח — ס״מ³.

חרוט וגליל עם אותו בסיס ואותו גובה

לחרוט ולגליל אותו רדיוס בסיס ואותו גובה. נפח הגליל הוא 300 ס״מ³. השלימו:

נפח החרוט הוא ס״מ³.

הסבירו את הקשר בין שני הנפחים:

מחשבים נפח חרוט

השתמשו בנוסחה נפח = 13 · π · רדיוס² · גובה. כתבו תשובות במונחי π.

רדיוס	גובה	נפח
3 ס״מ	12 ס״מ
5 ס״מ	9 ס״מ
4 ס״מ	15 ס״מ

גובה כפול

לשני חרוטים אותו רדיוס. גובה החרוט השני כפול מגובה הראשון.

פי כמה גדול נפח החרוט השני?

נמקו מתוך הנוסחה:

רדיוס כפול

לשני חרוטים אותו גובה. רדיוס החרוט השני כפול מרדיוס הראשון.

פי כמה גדול נפח החרוט השני?

נמקו מתוך הנוסחה:

מה משפיע יותר?

חרוט א׳ הוא החרוט המקורי. בחרוט ב׳ הכפילו רק את הגובה. בחרוט ג׳ הכפילו רק את הרדיוס. דרגו את הנפחים מהקטן לגדול והסבירו.

< <

בודקים חישוב

תלמיד חישב חרוט שרדיוסו 6 ס״מ וגובהו 10 ס״מ וכתב: נפח = π · 6² · 10 = 360π. מצאו את הטעות ותקנו.

ניתוח שגיאות נפוצות בחישוב הנפח

לחרוט רדיוס 4 ס״מ ו־גובה 9 ס״מ. רק אחת מהתשובות הבאות נכונה, והאחרות מייצגות טעויות שכיחות (שכחת ⅓, אי־העלאה בריבוע או כפל מיותר). סמנו את הנפח הנכון:

48π ס״מ³

144π ס״מ³

12π ס״מ³

432π ס״מ³

כתבו הצבה וחישוב נכונים:

מה הייתה הטעות?

תלמיד קיבל 144π ס״מ³.

שכח 13שכח רדיוס²החליף גובה ב-רדיוס

תלמיד אחר חישב 13·π·4·9. מה חסר?

תקנו את החישוב:

קוטר במקום רדיוס

קוטר הבסיס 12 ס״מ והגובה 10 ס״מ. איזו הצבה מתחילה נכון?

13π·12²·10

13π·6²·10

כתבו את הנפח לאחר ההצבה הנכונה:

יחידת תשובה

נועה כתבה בסוף החישוב 80π ס״מ². החשבון המספרי שלה נכון. תקנו רק את היחידה: .

הסבירו מדוע זו יחידת נפח ולא יחידת שטח:

קומיקס כיתתי צבעוני על למידה למבחן בנושא חרוט

שני מכלים בצורת חרוט

למכל א׳ רדיוס 4 ס״מ וגובה 12 ס״מ. למכל ב׳ רדיוס 8 ס״מ וגובה 6 ס״מ.

מכל א׳

נפח:

מכל ב׳

נפח:

באיזה מכל הנפח גדול יותר? פי כמה?

משנים רק מידה אחת

חרוט א׳ הוא המקורי. בכל שורה מתואר חרוט חדש. השלימו את גורם השינוי בנפח.

השינוי	גורם השינוי בנפח
הרדיוס נשאר, הגובה פי 3
הגובה נשאר, הרדיוס פי 3
הרדיוס פי 2 והגובה פי 2
הרדיוס חצי והגובה נשאר

חרוט בתוך גליל

חרוט וגליל בעלי אותו בסיס ואותו גובה. ממלאים את החרוט במים ושופכים לגליל. כמה חרוטים מלאים דרושים כדי למלא את הגליל?

1234

הסבירו בעזרת נפחים:

מי צודק?

דנה: „אם מכפילים רדיוס פי 2, הנפח מוכפל פי 2.”
רועי: „אם מכפילים רדיוס פי 2, הנפח מוכפל פי 4.”

מי צודק?

נמקו:

בוחרים שינוי

רוצים להגדיל את נפח החרוט בלי לשנות את גובהו. איזה שינוי ברדיוס יגדיל את הנפח פי 9?

פי 2פי 3פי 9

הסבר קצר:

מתכננים חרוט חדש

לחרוט נתון נפח 48π ס״מ³. תנו זוג אפשרי של רדיוס וגובה שמתאים לנפח הזה, ובדקו בחישוב.

רדיוס =ס״מגובה =ס״מ

מה רואים כשחותכים דרך הציר?

השלימו: בחתך צירי של חרוט ישר מתקבל משולש .

בסיס המשולש

רדיוס בסיס החרוט הוא 5 ס״מ. מה אורך בסיס משולש החתך הצירי?

5 ס״מ10 ס״מ25 ס״מ

השלימו: בסיס החתך הצירי הוא ה־ של בסיס החרוט.

חצי חתך

מורידים את גובה החרוט בתוך החתך הצירי. מתקבלים שני משולשים ישרי־זווית חופפים.

באחד מהם: הרדיוס והגובה הם , והיוצר הוא .

מציירים חצי חתך בעצמנו

ציירו אחד משני המשולשים ישרי־הזווית שמתקבלים כאשר גובה החרוט מחלק את החתך הצירי. סמנו: רדיוס, גובה, יוצר וזווית ישרה.

מסמנים על השרטוט

אם רדיוס 6 ס״מ ו־גובה 8 ס״מ, כתבו על החתך: בסיס מלא ס״מ וגובה ס״מ.

שטח משולש החתך

רדיוס הבסיס 4 ס״מ וגובה החרוט 9 ס״מ.

לפני החישוב השלימו: בסיס משולש החתך הוא הקוטר, ולכן אורכו ס״מ.

שטח החתך:שטח =ס״מ²

עוד חתך

רדיוס 6 ס״מ, גובה 10 ס״מ.

כתבו תחילה את קוטר הבסיס, ואז חשבו את שטח החתך הצירי.

שטח =ס״מ²

מאתרים טעות

תלמיד חישב במקרה הקודם: שטח = (6 · 10) / 2 = 30.

מה הוא לקח בטעות כבסיס המשולש?

רדיוסקוטריוצר

כתבו את החישוב המתוקן:

שטח =ס״מ²

מה צריך לדעת?

כדי לחשב שטח חתך צירי ישיר מספיק לדעת את רדיוס הבסיס ואת גובה החרוט.

נכוןלא נכון

הסבירו בעזרת הקשר בין החרוט למשולש: בסיס המשולש הוא , וגובה המשולש הוא .

שלושה חתכים מקבילים לבסיס

בחרוט ישר מבצעים שלושה חתכים מקבילים לבסיס: קרוב לקודקוד, באמצע, וקרוב לבסיס. דרגו את רדיוסי העיגולים שמתקבלים מן הקטן לגדול.

< <

הסבירו:

חתך דרך הציר

מישור עובר דרך קודקוד חרוט ישר ומרכז בסיסו. ציירו את החתך וסמנו בו את גובה החרוט ורדיוס הבסיס.

לא דרך הציר

מישור עובר דרך הקודקוד אך אינו עובר דרך מרכז הבסיס. האם החתך חייב להיות אותו משולש כמו בחתך הצירי?

כןלא

הסבירו מה יכול להשתנות:

מתאימים חתך לתיאור

תיאור החיתוך	צורת החתך הצפויה	נימוק
מקביל לבסיס
דרך הציר
דרך הקודקוד, לא דרך המרכז

בודקים טענה

„ככל שהחתך המקביל לבסיס קרוב יותר לקודקוד, שטח העיגול שמתקבל גדול יותר.” קבעו אם הטענה נכונה ותקנו אותה אם צריך.

חושבים על שני החלקים

לאחר חתך מקביל לבסיס מתקבלים חלק עליון וחלק תחתון. כתבו הבדל אחד בין שני החלקים הקשור למספר הבסיסים או לקודקוד.

מזהים את המשולש הנכון

איזו משוואה מתאימה?

6² + 8² = יוצר²

6² + יוצר² = 8²

6 + 8 = יוצר²

אחרי שבחרתם, חשבו את היוצר:

יוצר:ס״מ

מי היתר?

בחצי חתך צירי של חרוט ישר:

הרדיוסהגובההיוצר

השלימו: היוצר נמצא מול הזווית ה־.

לכן לפני כתיבת משוואה כדאי לסמן תחילה את היתר.

משוואה לגובה חסר

נתונים רדיוס 5, יוצר 13.

גובה² + 5² = 13²

גובה² + 13² = 5²

חשבו את הגובה:

גובה:ס״מ

אותה מיומנות — לפני שממשיכים

בכל חצי חתך צירי של חרוט ישר, סמנו לעצמכם את שלושת התפקידים לפני החישוב:

ניצב — רדיוסניצב — גובהיתר — יוצר

אם הניצבים הם 6 ו־8, בדקו שהיוצר שמצאתם גדול מכל אחד מן הניצבים. הסבירו מדוע זה הגיוני:

עולם החרוטים — עמוד חזותי עשיר בנושא חרוט

גובה מתוך רדיוס ויוצר

כתבו תחילה את משוואת פיתגורס, אחר כך פתרו בשלבים.

גובה =ס״מ

מקרה נוסף

רדיוס 8 ס״מ, יוצר 17 ס״מ.

כתבו משוואה, פתרו ובדקו שהגובה קטן מן היוצר.

גובה =ס״מ

בדיקת היגיון

איזה מהבאים יכול להיות גובה כאשר היוצר הוא 13 ס״מ?

15 ס״מ12 ס״מ20 ס״מ

מדוע?

בודקים את התשובה שמצאנו

הציבו מחדש את הרדיוס ואת הגובה שמצאתם במקרה הראשון ובדקו שמתקבל יוצר 13 ס״מ.

מה הבדיקה מאשרת?

הפעם הרדיוס חסר

בחרוט ישר גובה 12 ס״מ ו־יוצר 13 ס״מ.

כתבו משוואה, פתרו בשלבים ובדקו את התוצאה.

רדיוס =ס״מ

היוצר חסר

רדיוס 9 ס״מ, גובה 12 ס״מ.

הפעם היוצר הוא היתר. כתבו את משוואת פיתגורס וחשבו.

יוצר =ס״מ

אפשרי או לא?

תלמיד טען שבחרוט ישר רדיוס 8, גובה 6, יוצר 9.

אפשרילא אפשרי

בדקו באמצעות פיתגורס:

אם הטענה אינה אפשרית, כתבו מה צריך להיות היוצר: ס״מ.

שלושה כיוונים של אותה מיומנות

סמנו מה עשוי להיות הנעלם בפיתגורס בתוך חרוט ישר:

רדיוסגובהיוצרנפח

כתבו כלל קצר שיעזור לבחור את המשוואה בכל אחד משלושת המקרים:

גביע חרוטי חדש

גביע נייר בצורת חרוט ישר. רדיוס הפתח הוא 5 ס״מ ואורך הקו הישר מן הקודקוד אל שפת הבסיס הוא 13 ס״מ.

חשבו את גובה החרוט. הציגו את החישוב:

מחשבים נפח

השתמשו בגובה שמצאתם וברדיוס הנתון. כתבו את הנפח במונחי π.

נפח: ס״מ³

בודקים היגיון

תלמיד טען שהגובה חייב להיות גדול מ־13 ס״מ כי הוא עובר בתוך החרוט. האם הטענה אפשרית?

כןלא

נמקו:

משנים מידה אחת

מייצרים שני גביעים חדשים מן הגביע המקורי. בגביע ב׳ מכפילים רק את הגובה פי 2. בגביע ג׳ מכפילים רק את הרדיוס פי 2.

גביע	שינוי	גורם השינוי בנפח
ב׳	גובה פי 2
ג׳	רדיוס פי 2

באיזה גביע הנפח גדול יותר? הסבירו מדוע:

מאתרים טעות בחישוב

דניאל חישב את נפח הגביע המקורי וכתב: נפח = π · 5² · 12 = 300π. בדקו תחילה שהגובה 12 ס״מ אכן מתאים לנתונים, ואז מצאו את הטעות בנוסחת הנפח ותקנו את התוצאה.

לפני שמציבים — מאחדים יחידות

נתון	מה עושים?	בסנטימטרים
60 מ״מ
0.12 מ׳
150 מ״מ
0.4 מ׳

מסלול המרה קצר

השלימו את הקשרים שיעזרו לכם בכל בעיית חרוט:

10 מ״מ = ס״מ100 ס״מ = מ׳1 מ׳ = ס״מ

כתבו במילים: כשעוברים ממטרים לסנטימטרים אנחנו , וכשעוברים ממילימטרים לסנטימטרים אנחנו .

רדיוס במ״מ, גובה בס״מ

בחרוט רדיוס 40 מ״מ ו־גובה 9 ס״מ.

לפני חישוב נפח:

רדיוס =ס״מ

עכשיו שתי המידות באותה יחידה?

כןלא

הסבירו:

גובה במטרים

בחרוט גובה 0.15 מ׳.

גובה =ס״מ

איזו פעולה עשיתם?

כפל ב־100חילוק ב־100

כתבו את החישוב:

בדיקת מוכנות להצבה

בכל שורה קבעו אם אפשר כבר להציב בנוסחת נפח בלי המרה נוספת.

רדיוס	גובה	מוכן להצבה?
5 ס״מ	12 ס״מ
40 מ״מ	9 ס״מ
0.06 מ׳	18 ס״מ

נסחו כלל: אין מציבים בנוסחת נפח מידות ביחידות .

ממירים ואז מחשבים

חרוט ישר: רדיוס 40 מ״מ, גובה 9 ס״מ.

המירו תחילה את הרדיוס לסנטימטרים, ורק אחר כך הציבו בנוסחת הנפח.

רדיוס =ס״מ

נפח =ס״מ³

הקוטר נתון במטרים

קוטר בסיס חרוט הוא 0.10 מ׳ והגובה 12 ס״מ.

השלימו לפי הסדר:

קוטר =ס״מרדיוס =ס״מ

נפח =ס״מ³

מאתרים טעות

אורי הציב רדיוס 40 ו־גובה 9 בלי להמיר מ״מ לס״מ. מה צריך לעשות לפני ההצבה?

להמיר יחידותלהכפיל ב־3לחשב קוטר

כתבו את הנתונים הנכונים:

בודקים את יחידת התשובה

אם כל המידות הומרו לסנטימטרים, באיזו יחידה נכתוב את הנפח?

ס״מס״מ²ס״מ³

נמקו:

משפך חרוטי

החלק החרוטי של משפך בעל רדיוס 6 ס״מ וגובה 8 ס״מ. מה נפח החלל החרוטי?

נפח =ס״מ³

קונוס תנועה כמודל

מודל חרוטי: רדיוס 14 ס״מ, גובה 30 ס״מ.

איזה מידע דרוש לחישוב נפח?

רדיוס וגובהצבע וגובהיוצר בלבד

השוואת צורה: בהשוואה בין שני דגמים דומים, אחד רחב ונמוך ואחד צר וגבוה, לאיזה מהם בסיס רחב יותר? הרחב הצר. הסבירו בקצרה: .

כובע מסיבה

כובע חרוטי פתוח מלמטה. רוצים לחשב את נפח המרחב שבתוכו. איזה נתון אינו מספיק לבדו?

גובה בלבדרדיוס וגובה

כתבו עוד נתון שצריך: .

כובע מסיבה טיפוסי דומה יותר לחרוט צר וגבוה / רחב ונמוך. כתבו תכונה גאומטרית אחת שתומכת בבחירה: .

מתמטיקה בתוך חפצים אמיתיים

א. בחרו אחד מהחפצים בעמוד וכתבו אילו שני קטעים הייתם מודדים כדי לחשב נפח חרוט ישירות: .

ב. גביע גלידה הוא בקירוב חרוט. ציינו יתרון שימושי אחד של הצורה החרוטית בהקשר של החזקה או אכילה, והבחינו בין התכונה המעשית לבין התכונה הגאומטרית.

ג. מצאו בבית או בדרך לבית הספר חפץ נוסף שאפשר למדל בקירוב כחרוט: . כתבו איזו תכונה של חרוט זיהיתם בו: .

איפה מסתתר החרוט?

בתמונה יש חרוט אחד בלבד. מצאו אותו.

כובע חרוטי — נתון חסר

לכובע מסיבה בצורת חרוט ישר רדיוס בסיס 9 ס״מ ויוצר 15 ס״מ.

לפני שמחשבים נפח, כתבו מה חסר ולמה צריך למצוא אותו: .

קודם גובה

בחרו משוואה נכונה:

גובה² + 9² = 15²

גובה² + 15² = 9²

פתרו:

גובה =ס״מ

אחר כך נפח

השתמשו בגובה שמצאתם וברדיוס הנתון.

נפח =ס״מ³

בדקו: האם השתמשתם ברדיוס ולא בקוטר? כן לא

רצף פתרון של בעיה רב־שלבית

סדרו את הפעולות: חישוב נפח / זיהוי המשולש / פיתגורס / מציאת הגובה.

כתבו ליד כל שלב איזה נתון חדש הוא נותן לשלב הבא:

בדיקת היגיון לפני מעבר לעמוד הבא

הגובה שמצאתם צריך להיות קטן מן היוצר גדול מן היוצר. הסבירו בעזרת חצי החתך הצירי:

מתוך תוכנית הלימודים

גביע ה״מיני־מקס״

לכבוד פתיחת הקיץ, גלידריה "הצורה המתוקה" השיקה גביע וופל חדש בצורת חרוט.

המוכר טוען שהגביע החדש מכיל הרבה יותר גלידה מהגביע הסטנדרטי, אבל תלמידים שהגיעו למקום החליטו לבדוק את זה בעזרת המתמטיקה שלמדו.

כדי שהגלידה לא תנזל, חשוב שהכדור הראשון ייכנס לפחות בחציו לתוך חלל החרוט. לכן, המידות המדויקות של הגביע הן קריטיות.

לפניכם נתונים של גביע ה"מיני-מקס" החדש (ראו איור):

רדיוס פתח הגביע 6 ס״מ.
אורך הוופל מהשפה העליונה עד קודקוד החרוט (הקצה התחתון של הגביע) הוא 10 ס״מ.

א. הגלידריה צריכה לדעת מה גובה הגביע כדי להתאים לו מתקני מדידה. התבוננו בחתך הצירי של הגביע. חשבו את גובה הגביע. היעזרו במשפט פיתגורס.

ב. חשבו כמה ס״מ³ גלידה יכולה להיכנס בתוך חלל הגביע (לא כולל הכדורים שבולטים מעליו).

פיתגורס ואז שטח חתך

בחרוט ישר רדיוס 9 ס״מ ו־יוצר 15 ס״מ.

שלב ראשון: מצאו את הגובה בעזרת פיתגורס.

גובה =ס״מ

שלב שני: כתבו את קוטר הבסיס של משולש החתך וחשבו את שטחו.

שטח =ס״מ²

מקרה שני

רדיוס 7 ס״מ, יוצר 25 ס״מ.

מצאו תחילה את הגובה, אחר כך את הקוטר, ולבסוף את שטח החתך.

גובה קוטר

שטח החתך ס״מ²

בודקים בסיס

תלמיד מצא נכון את הגובה, אבל השתמש ב־רדיוס כבסיס המשולש. מה עליו להשתמש במקום?

רדיוס/22 · רדיוסיוצר

הסבירו למה:

מפת פתרון

השלימו את הרצף: רדיוס ויוצר → → גובה → → שטח החתך.

איזו פעולה שייכת לפיתגורס ואיזו לנוסחת שטח משולש?

מזהים לפי תכונות

כתבו שלוש תכונות שמספיקות כדי להבחין בין חרוט לבין גליל ופירמידה.

פריסה חסרה

בפריסה של חרוט מופיעים עיגול וגזרה. לאחר המדידה התברר שקשת הגזרה קצרה מהיקף המעגל. האם אפשר לסגור מהם חרוט ללא חפיפה או רווח?

כןלא

הסבירו:

חתך ושני חלקים

חרוט ישר נחתך במישור המקביל לבסיס. סמנו את כל המשפטים הנכונים.

החתך עצמו הוא עיגול.

החלק שמכיל את הקודקוד הוא חרוט.

שני החלקים שהתקבלו הם חרוטים.

לחלק התחתון יש שני משטחים עגולים מקבילים.

נפח והשוואה

חרוט וגליל בעלי רדיוס בסיס 6 ס״מ וגובה 10 ס״מ.

חרוט

נפח:

גליל

נפח:

פי כמה גדול נפח הגליל?

מבט ותנוחה

חרוט ישר עומד על בסיסו. תלמיד כתב: „במבט מלמעלה רואים משולש כי החרוט מחודד.” תקנו והסבירו.

שינוי רדיוס

משאירים את הגובה קבוע ומגדילים את הרדיוס פי 3. השלימו:

שטח הבסיס גדל פי

נפח החרוט גדל פי

הסבירו את הקשר:

משלבים ייצוגים

בחרו חרוט אחד שציירתם במהלך החוברת. תארו אותו בשלושה ייצוגים שונים: גוף, פריסה ומבט. כתבו ליד כל ייצוג פרט אחד שנשמר ופרט אחד שמשתנה.

ייצוג	פרט שנשמר	פרט שמשתנה
גוף
פריסה
מבט

מוצאים גובה מתוך נפח

לחרוט רדיוס בסיס 4 ס״מ ונפח 80π ס״מ³. חשבו את גובה החרוט.

גובה:ס״מ

מוצאים רדיוס מתוך נפח

לחרוט גובה 9 ס״מ ונפח 75π ס״מ³. חשבו את רדיוס הבסיס.

רדיוס:ס״מ

שני פתרונות אפשריים

נפח חרוט הוא 36π ס״מ³. כתבו שני זוגות שונים של רדיוס וגובה שמתאימים לנפח.

	רדיוס	גובה
אפשרות א׳
אפשרות ב׳

איזו תשובה לא אפשרית?

שלושה תלמידים הציעו מידות לחרוט שנפחו 48π ס״מ³.

רדיוס 4, גובה 9

רדיוס 6, גובה 4

רדיוס 3, גובה 15

סמנו את כל האפשרויות שמתאימות ובדקו בחישוב.

מתכננים באילוץ

רוצים לבנות חרוט שנפחו 100π ס״מ³ וגובהו קטן מ־15 ס״מ. הציעו רדיוס וגובה שמתאימים לשני התנאים.

רדיוס =ס״מגובה =ס״מ

בודקים טענה הפוכה

נועה אמרה: „אם לשני חרוטים אותו נפח, אז חייבים להיות להם אותו רדיוס ואותו גובה.” קבעו אם הטענה נכונה. אם לא — תנו דוגמה נגדית.

נפח נתון — מחפשים רדיוס

לחרוט גובה 12 ס״מ ונפח 144π ס״מ³.

התחילו מן המשוואה הנתונה, צמצמו וחשבו את הרדיוס.

144π = 13 · π · רדיוס² · 12

רדיוס =ס״מ

הפעם הגובה חסר

נפח = 100π ס״מ³, רדיוס 5 ס״מ.

כתבו את המשוואה והפרידו את הגובה.

גובה =ס״מ

בחירה לפי יעד

רוצים נפח 48π ס״מ³ וגובה 9 ס״מ. איזה רדיוס מתאים?

2 ס״מ4 ס״מ8 ס״מ

אל תסתפקו בבחירה — הראו בדיקה קצרה:

בדיקה לאחור

בחרו אחד משני התרגילים הראשונים והציבו את המידה שמצאתם בחזרה בנוסחת הנפח. האם מתקבל הנפח המקורי?

כןלאהסבר:

מה השתנה בכיוון החשיבה?

במקום לקבל רדיוס וגובה ולמצוא נפח, קיבלנו את הנפח ומצאנו . כתבו כלל קצר שיעזור לכם לזהות שאלה שעובדים בה לאחור:

אותו בסיס ואותו גובה

לחרוט ולגליל אותו רדיוס בסיס ואותו גובה. נפח הגליל הוא 540 ס״מ³.

נפח החרוט:ס״מ³היחס בין נפח החרוט לנפח הגליל:

שלושה חרוטים ממלאים גליל

ממלאים חרוט במים ושופכים לגליל בעל אותו בסיס ואותו גובה. כמה מילויי חרוט נדרשים כדי למלא את הגליל?

1236

הסבירו בעזרת נוסחאות הנפח:

נפח גליל ידוע

נפח גליל הוא 150π ס״מ³. לחרוט אותו בסיס ואותו גובה.

נפח החרוט:ס״מ³

אם גובה החרוט יוכפל בלבד, נפחו יהיה:ס״מ³

מי צודק?

אלון: „נפח החרוט תמיד שווה לשליש מנפח הגליל.”
רותם: „זה נכון רק אם יש להם אותו בסיס ואותו גובה.”

מי צודק?

נמקו:

משלימים טבלה

רדיוס	גובה	נפח גליל	נפח חרוט
3	10
5	6
4	12

יוצרים זוג משלכם

בחרו רדיוס וגובה שלמים. חשבו את נפח הגליל ואת נפח החרוט בעלי אותן מידות ובדקו שהיחס ביניהם מתאים לכלל.

רדיוס =גובה =

שני פתרונות, שתי טעויות

חרוט: קוטר 10 ס״מ, גובה 12 ס״מ.

פתרון א׳בדקו

נפח = 13·π·10²·12 = 400π

פתרון ב׳בדקו

נפח = π · 5² · 12 = 300π

לכל פתרון כתבו את הטעות המרכזית.

הפתרון המתוקן

בחרו את ההצבה הנכונה:

13π·5²·12

13π·10²·12

π·5²·12

נפח נכון: ס״מ³.

כלל בדיקה אישי

לפני חישוב נפח אני בודק: האם הנתון הוא רדיוס או קוטר? האם כתבתי רדיוס²? האם שמרתי את 13?

בדקתי

מה חייב להתאים?

בפריסה של חרוט, אורך קשת הגזרה צריך להיות שווה להיקף הבסיס. השלימו את הטבלה.

רדיוס הבסיס	היקף הבסיס	אורך קשת הגזרה
3 ס״מ
5 ס״מ
7 ס״מ

פריסה אפשרית או לא?

לכל שורה קבעו אם הגזרה והעיגול יכולים ליצור יחד חרוט סגור ללא רווח או חפיפה.

אורך קשת הגזרה	היקף המעגל	אפשרי?	הסבר קצר
10π	10π
12π	8π
14π	14π

מוצאים את רדיוס הבסיס

אורך קשת הגזרה הוא 16π ס״מ. חשבו את רדיוס בסיס החרוט.

רדיוס: ס״מ

בודקים טעות

תלמיד אמר: „אם רדיוס הגזרה הוא 10 ס״מ, אז גם רדיוס בסיס החרוט הוא 10 ס״מ.” האם הוא בהכרח צודק?

כןלא

הסבירו:

שתי גזרות — אותו רדיוס, קשת שונה

לשתי גזרות אותו רדיוס של 12 ס״מ. אורך הקשת של גזרה א׳ הוא 8π ס״מ ושל גזרה ב׳ הוא 12π ס״מ. סוגרים כל גזרה למעטפת של חרוט.

רדיוס בסיס חרוט א׳: ס״מ רדיוס בסיס חרוט ב׳: ס״מ

איזה חרוט בעל בסיס גדול יותר? נמקו:

מתכננים פריסה

רוצים ליצור חרוט שרדיוס בסיסו 6 ס״מ. כתבו מה צריך להיות אורך קשת הגזרה, והסבירו מה עדיין לא נקבע על ידי הנתון הזה בלבד.

אורך הקשת: ס״מ

מה מייצג רדיוס הגזרה?

פותחים את מעטפת החרוט לגזרת עיגול. רדיוס הגזרה הוא 10 ס״מ. מהו האורך שהוא מייצג בחרוט?

רדיוס הבסיסגובה החרוטאורך היוצרקוטר הבסיס

הסבירו:

מוצאים זווית של גזרה

לחרוט רדיוס בסיס 3 ס״מ ואורך יוצר 12 ס״מ. אורך קשת הגזרה שווה להיקף הבסיס.

אורך הקשת:ס״מ

איזה חלק ממעגל שרדיוסו 12 ס״מ הוא הקשת הזאת?

זווית הגזרה:מעלות

עוד חרוט

רדיוס הבסיס 4 ס״מ ואורך היוצר 10 ס״מ.

היקף הבסיס:

היקף המעגל המלא של הגזרה:

זווית הגזרה:°

בודקים אפשרות

תלמיד הציע חרוט שרדיוס בסיסו 8 ס״מ ואורך היוצר שלו 6 ס״מ.

האם הנתונים אפשריים לחרוט ישר?

כןלא

נמקו בעזרת חתך צירי:

משווים שתי פריסות

לשני חרוטים אותו אורך יוצר. רדיוס בסיס חרוט ב׳ כפול מרדיוס בסיס חרוט א׳. מה יקרה לזווית הגזרה של ב׳ ביחס לזווית של א׳, כל עוד שתי הפריסות אפשריות?

תישאר זההתוכפלתחצה

הסבירו דרך אורכי הקשת:

מתכננים פריסה אפשרית

בחרו אורך יוצר שלם ורדיוס בסיס שלם הקטן ממנו. חשבו את זווית הגזרה הנדרשת.

אורך יוצר:ס״מרדיוס בסיס:ס״מזווית:°

אילו מידות יכולות ליצור חרוט ישר?

בכל שורה רדיוס, גובה ויוצר אמורים ליצור את חצי החתך הצירי. קבעו אם הנתונים אפשריים.

רדיוס	גובה	יוצר
6	8	10
8	15	17
8	6	9
5	12	13

בלי לחשב עד הסוף

האם יוצר יכול להיות קצר מן הרדיוס?

כןלא

הסבירו במילה מתמטית אחת: היוצר הוא ה־.

מתקנים נתון אחד

בשלשה רדיוס 8, גובה 6, יוצר 9 שנו רק את יוצר כך שהחרוט יהיה אפשרי.

יוצר =ס״מ

יוצרים שלשה אפשרית משלכם

בחרו רדיוס וגובה שלמים, חשבו יוצר מתאים וכתבו את שלושת הנתונים.

רדיוס גובה יוצר

בדקו את השלשה בעזרת הקשר המתאים:

כלל בדיקה

איך אפשר לבדוק אם שלוש מידות נתונות יכולות להשתייך לחרוט ישר?

שלושה חרוטים — אותו נפח

בנו שלושה חרוטים שונים שנפח כל אחד מהם 48π ס״מ³. בכל חרוט בחרו רדיוס וגובה שונים.

חרוט	רדיוס	גובה	בדיקת נפח
א׳
ב׳
ג׳

כתבו מסקנה אחת: מה מלמדות שלוש הדוגמאות על הקשר בין נפח לבין מידות החרוט?

אילוץ חדש

מבין החרוטים שבניתם, בחרו אחד ושנו אותו כך שהגובה יהיה קטן מ־10 ס״מ אבל הנפח יישאר 48π ס״מ³.

רדיוס =ס״מגובה =ס״מ

מי צר יותר?

שני חרוטים בעלי אותו נפח. לחרוט א׳ גובה גדול יותר. האם מכאן בהכרח שרדיוס הבסיס שלו קטן יותר?

כןלא

הוכיחו או תנו דוגמה נגדית:

מתכננים חרוט לפי שתי דרישות

תכננו חרוט ישר שמקיים את שתי הדרישות:

נפחו גדול מ־100π ס״מ³.

רדיוס בסיסו קטן מ־6 ס״מ.

הציעו מידות ובדקו:

רדיוס =ס״מגובה =ס״מ

מה משתנה בפריסה?

לשני חרוטים אותו רדיוס בסיס אך גבהים שונים. בלי לחשב מספרים, קבעו אילו מאפיינים של הפריסה חייבים להיות זהים ואילו יכולים להיות שונים.

מאפיין	זהה / יכול להשתנות	נימוק
היקף מעגל הבסיס
אורך קשת הגזרה
רדיוס הגזרה

מנסחים כלל משלכם

כתבו כלל מתמטי אחד על חרוט שלמדתם מתוך החקירה בדף הזה. הכלל חייב להיות כזה שאפשר לבדוק בעזרת חישוב או שרטוט.

אלומת אור חרוטית

מתכננים אלומת אור בצורת חרוט ישר. קוטר הבסיס 10 מ׳ וגובה האלומה 12 מ׳.

מחלצים נתונים

רדיוס הבסיס:

רדיוס =מ׳

היוצר:

יוצר =מ׳

שני גדלים שונים

חשבו:

נפח החרוט: מ׳³

שטח החתך הצירי: מ׳²

שינוי בתכנון

שומרים על אותו רדיוס ומכפילים רק את הגובה פי 2. פי כמה ישתנה הנפח?

פי 2פי 4פי 8

ומה יקרה לשטח החתך הצירי אם בסיס המשולש נשאר קבוע והגובה מוכפל? .

מסכמים ייצוגים

במשימה אחת השתמשתם בקוטר, רדיוס, גובה ויוצר, נפח ושטח חתך. הקיפו את שני הגדלים שהם שטחים/נפחים ולא אורכים: רדיוס יוצר נפח שטח.

מפריסה לגוף

בפריסה של חרוט אורך קשת הגזרה הוא 12π ס״מ. חשבו את רדיוס בסיס החרוט.

רדיוס הבסיס:ס״מ

כתבו מה עוד צריך לדעת כדי לקבוע את גובה החרוט:

חתך צירי

בחרוט ישר רדיוס הבסיס 6 ס״מ ואורך היוצר 10 ס״מ. חשבו את הגובה.

גובה =ס״מ

נפח

השתמשו בנתונים מן הסעיף הסמוך וחשבו את נפח החרוט במונחי π.

נפח:ס״מ³

טעות כפולה

תלמיד כתב: „בחתך הצירי מתקבל עיגול, ולכן גובה החרוט שווה לאורך היוצר.” מצאו שתי טעויות שונות במשפט ותקנו כל אחת.

הטעות	התיקון

משווים שינוי

חרוט א׳ הוא החרוט המקורי. בחרוט ב׳ מכפילים רק את הגובה פי 3. בחרוט ג׳ מכפילים רק את הרדיוס פי 3.

נפח ב׳ גדול פימנפח א׳נפח ג׳ גדול פימנפח א׳

איזה שינוי משפיע יותר? הסבירו:

מבט מלמעלה

חרוט ישר עומד על בסיסו. ציירו את המבט מלמעלה וסמנו בו את מרכז הבסיס.

חתך מקביל לבסיס

האם חתך הקרוב לבסיס יהיה גדול או קטן מחתך הקרוב לקודקוד?

גדול יותרקטן יותר

נמקו:

שאלה משלבת

תכננו חרוט ישר שרדיוס בסיסו קטן מ־5 ס״מ ונפחו גדול מ־50π ס״מ³. תנו מידות אפשריות ובדקו בחישוב.

רדיוס =ס״מגובה =ס״מ

מחסן מילים מרכזי: מרכזרדיוסקוטרמעגלעיגולπ קודקודפאהמקצועפריסהנפחמבט ניצביתרבסיסשפת הבסיסיוצרגובה

עיגול ומעגל — כיתה ז׳

מחסן:רדיוסקוטרπהיקף = 2 · π · רדיוסשטח = π · רדיוס²

קטע מן המרכז אל המעגל נקרא .

קטע העובר דרך המרכז ומחבר שתי נקודות על המעגל נקרא .

היקף מעגל: שטח העיגול: .

תרגול בסיס לפני חרוט: א. רדיוס הבסיס 3 ס״מ: הקוטר = ס״מ, והיקף הבסיס בקירוב π≈3 הוא ס״מ. ב. רדיוס הבסיס 4 ס״מ: הקוטר = ס״מ, והיקף הבסיס בקירוב, גם כאן לפי π≈3, הוא ס״מ.

תיבה, נפח, פריסה ומבטים — כיתה ז׳

מחסן:פאהמקצועקודקודפריסהמבטנפח

סמנו את שני הייצוגים שמעבירים בין גוף תלת־ממדי לייצוג דו־ממדי:

פריסהמבטצבעשם הגוף בלבד

לתיבה שממדיה 5 ס״מ, 3 ס״מ ו־4 ס״מ נפח של:

12 ס״מ³20 ס״מ³60 ס״מ³120 ס״מ³

משפט פיתגורס במשולש ישר־זווית — כיתה ח׳

מחסן:ניצביםיתר366410010

במשולש ישר־זווית סכום ריבועי ה־ שווה לריבוע ה־.

אם אורכי הניצבים הם 6 ו־8, סמנו את החישוב הנכון ליתר:

6+8=1436+64=100 ולכן היתר 106·8=48

מחברים את היסודות לחרוט ישר

מחסן:עיגולמעגלגובהיוצרמשולש שווה־שוקייםניצביתר

בחרוט	בחרו את ההתאמה
הבסיס	עיגול / משולש / מלבן
שפת הבסיס	מעגל / קוטר / גזרה
האנך מן הקודקוד למישור הבסיס	גובה / יוצר / רדיוס
חתך צירי של חרוט ישר	עיגול / משולש שווה־שוקיים / מלבן

בחצי חתך צירי של חרוט ישר מתקבל משולש ישר־זווית: הרדיוס והגובה הם הניצבים, והיוצר הוא היתר.

תשובה — 15 חרוטים

אותה תמונה בדיוק: הרקע בשחור־לבן ורק החרוטים נשארים בצבע.

תשובה — החרוט היחיד

אותה תמונה בדיוק: הרקע בשחור־לבן ורק החרוט נשאר בצבע.